美國和德國的研究人員最近解決了一個困擾數學家超過一個世紀的數學問題，成功找到了稀有的曲面對稱體，即 Bonnet 曲面（Bonnet surfaces）的首個具體例子。這三位來自慕尼黑工業大學（TUM）、柏林工業大學（TU Berlin）和北卡羅來納州立大學（NC State）的科學家，推翻了一個在經典幾何學中廣泛接受的原則。這個原則最早可追溯至150多年前的法國數學家皮埃爾·奧西安·博內（Pierre Ossian Bonnet），他提出的理論認為，如果已知曲面的兩個關鍵性質：度量（metric）和平均曲率（mean curvature），則可以唯一確定曲面的整體形狀。然而，這個團隊成功證明這一假設並不總是正確。
TUM 的應用與計算拓撲教授蒂姆·霍夫曼（Tim Hoffmann）表示，這一發現使我們能夠解決在曲面微分幾何學中存在數十年的問題。根據曲面理論，博內定理（Bonnet theorem）表明，曲面的兩個基本特性應該決定其形狀。第一個特性是度量，它描述了沿著曲面本身測量的距離和角度；第二個特性是平均曲率，它衡量曲面在三維空間中的彎曲情況。這一理念最早由博內於1867年提出。
為了推翻這一經驗法則，研究團隊創造了兩個緊湊的環形曲面（tori）。儘管它們擁有相同的度量和平均曲率，但其全球結構卻有所不同。霍夫曼在新聞稿中提到，「經過多年的研究，我們首次成功找到具體案例，顯示即使對於封閉的環狀曲面，局部測量數據也不一定能確定唯一的全球形狀。」
儘管這一經驗法則的例外情況已知，但這些例外僅出現在非緊湊的曲面中，如無限延伸的平面或在明確邊緣終止的曲面。而對於緊湊曲面如球體，研究人員證明度量和平均曲率可以唯一確定該曲面。同時，在環形曲面方面，早已知道給定的度量和平均曲率最多只能描述兩個不同的曲面，但在幾十年來，卻缺乏具體的例子，直到這三位科學家提供了一個。
團隊表示，「我們明確構造了一對在三維歐幾里得空間中浸入的環形曲面，這兩者通過保持平均曲率的等距變換相互關聯。」這對 Bonnet 曲面是首個緊湊的 Bonnet 對。這一結果解決了一個持續存在的問題，即度量和平均曲率函數是否可以確定唯一的光滑緊湊浸入。此外，團隊還證明了這些等距的環形曲面是實解析的，這也解決了另一個長期未解的問題，即度量的實解析性是否已經確定了唯一的緊湊浸入。研究人員總結道，他們的構造利用了 Bonnet 對與等距曲面的關係。這對 Bonnet 曲面作為一個具有平面曲率線族的等距環面轉換而來。該研究已發表在同行評審的期刊《Publications mathématiques de l IHÉS》上。
